Nullstellen von Polynomen (ganzrationalen Funktionen)

Häufig ergibt sich, z.B. beim Lösen einer Extremwertaufgabe, die Notwendigkeit, die Nullstellen eines Polynoms, d.h. einer Funktion der Form

zu bestimmen.

Die Lösungsstrategie

Man geht das Problem schrittweise an,
d.h. man bestimmt die Nullstellen des Polynoms nacheinander.


Hat man eine Nullstelle a bestimmt, was auf verschiedene Arten möglich ist (s.u.),
teilt man das Polynom mittels Polynomdivision durch den "Linearfaktor" x - a und
erhält ein Polynom, dessen Grad um eins reduziert ist.

Dies führt man so lange durch, bis man keine (reelle) Nullstellen mehr finden kann oder das Restpolynom noch höchstens Grad zwei hat und man es mit Hilfe der p-q-Formel (oder a-b-c-Formel) weiter behandeln kann.

Am Ende kann man eine faktorisierte Form des Funktionsterms angeben.

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Aufgabe : Bestimme die Lösungen der Gleichung
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Z.B. durch Probieren findet man heraus: x=1 ist eine Nullstelle von p(x).

p(x) : (x-1) ergibt mit dem Polynomdivisionsverfahren
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Die Nullstellen von q(x) kann man mit der p-q-Formel ausrechnen.
Es ergeben sich die weiteren Nullstellen x=-2 und x=-4.

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Anwendungsbeispiel

Hier eine DERIVE-DATEI mit ausführlichen Beispielen, weiteren Aufgaben und wichtigen Sätzen.

Multiple-Choice-Test

Zum Test.